¿El todo es mayor que las partes? Euclides tenía clarísimo que sí, y todos los matemáticos durante siglos desde él también lo sostuvieron, hasta que llegó Cantor y sentenció: «Pues no…».
Sea C un conjunto. Sea |C| el cardinal o número de elementos de este conjunto. Y sea N el conjunto de los números naturales 1, 2, 3, 4,… y Z el conjunto de los números enteros …-2, -1, 0,1, 2, 3…. .
Obviamente, N es un subconjunto, y por lo tanto una parte, de Z. Luego, según Euclides, no debe haber duda de que Z es mayor que N, pues el todo es mayor que las partes.
Pero, como decíamos, llegó Cantor y demostró que |N|=|Z|, es decir, que el número de naturales y el número de enteros es el mismo. ¿Cómo lo demostró? Sencillo, montando una correspondencia de uno a uno, entre unos y otros números. En resumen, asoció los números negativos con los impares y los números positivos con los pares de la siguiente forma:
| … |
| -3 -> 5 |
| -2 -> 3 |
| -1 -> 1 |
| 0 -> 2 |
| 1 -> 4 |
| 2 -> 6 |
| … |
Lo mismo puede hacerse con los números racionales Q que, como sabéis, son los números que pueden expresarse como una fracción p/q donde p y q son números enteros. Luego también tenemos |N|=|Q|.
Pero Cantor no contento con llegar hasta aquí se preguntó: ¿Qué pasa con los números reales R, es decir, todos los números que incluyen los racionales Q y además los irracionales, es decir, los que NO pueden expresarse como p/q (por ejemplo, el número PI)?
Cantor, mediante lo que se denomina el método de la diagonalización, demostró que no puede establecerse una correspondencia de uno a uno entre N y R, pues cada vez que intentamos establecer esa correspondencia entre naturales y reales, es decir, cada vez que intentamos contar los números reales, hay mínimo un número real que queda fuera de la correspondencia, es decir, hay mínimo un número que no contamos.
Luego Cantor demostró, nada más y nada menos, que |N|<|R|. Dicho de otra manera, que siendo los números naturales y los números reales infinitos, paradójicamente, hay más reales que naturales o, dicho aún de otra manera, que ¡hay infinitos mayores que otros infinitos!
Aquí tenéis al pobre genio de Cantor que, tras sus avances con los infinitos, criticado e incomprendido, sufrió fuertes crisis maniático-depresivas, acabando sus días en un psiquiátrico…
ENM (2023)
Excesos 