Hemos identificado los números naturales N={0,1,2,3…} y los enteros Z={…-2, -1, 0, 1, 2, 3,….}. También vimos que los números racionales Q eran los que podían escribirse como una fracción p/q donde p, q fueran enteros. Los matemáticos escriben este conjunto de la siguiente manera:

Q={ p/q | p,q ∈ Z-{0} }

Finalmente, los números irracionales son los que no pueden escribirse como una fracción (tienen infinitos decimales no periódicos). Todos juntos conforman el conjunto de los números reales R, también llamado el continuo porque es equivalente a una recta infinita sin vacío/hueco alguno.

Los números racionales Q y los números reales R son infinitos, Cantor mostró que los primeros se pueden contar y los segundos no.

De hecho, que Q es contable es tan fácil como disponer los números racionales de la siguiente manera y hacer la cuenta:

Ahora, gracias a esto sabemos que |Q|<|R|, es decir, que teniendo ambos conjuntos un número infinito de elementos, el infinito de R es más grande que el de Q, y esto, justamente porque, como decimos, Q es contable y R no lo es.

Ahora bien, ¿cómo están distribuidos los Q en R?

¡Dados dos números reales cualesquiera SIEMPRE EXISTE un racional entre ambos! Esto en notación matemática se escribe de la siguiente manera:

Fijémonos que lo anterior dice que para dos reales, en particular para dos tan próximos como se quiera, siempre hay un racional entre ambos. ¿Lo demostramos?

Sea E=b-a donde a, b € R. Por Arquímedes sabemos que por pequeño que sea E existirá un número natural q tal que 1/q < E, lo que equivale a:

1<qE =q(b-a)= qb-qa

Ahora, pensémoslo bien, entre dos números reales cuya diferencia sea mayor que uno siempre habrá un número entero p entre ambos, es decir:

qa< p< qb

Sólo nos queda dividir las expresiones entre q:

a< p/q<b

¡Ya tenemos nuestro racional p/q entre a y b!

Fijémonos en lo que hemos demostrado, a saber, que, no obstante |Q|<|R|, entre dos números reales cualesquiera siempre hay un racional, luego ¡el continuo está plagado de racionales!

En matemáticas se dice que la densidad de Q es R, lo que alude, en lenguaje coloquial, a la gran densidad de números racionales en el continuo. Esto se denota de la siguiente manera:

Tenemos, como vimos en una entrada anterior, que lo real no se deja simbolizar, no entra en la cuenta significante, y sin embargo este real R mismo tiene en los racionales Q una parte contable que es densa en él. Esta relación de densidad entre Q y R, por cuanto siempre hay un racional entre dos reales cualesquiera, hace litoral, ese lugar de la letra en el que, como en la orilla del mar, se hace imposible distinguir donde termina el agua y donde comienza la arena, donde acaba el significante y donde empieza el goce.

ENM (2023)