Las paradojas de Zenón, a pesar de los siglos, siguen aún dando que pensar. Hay quienes muy aristotélicamente continúan situándolas como ilusiones, enunciados falsos, que yerran en la pretensión de negar el movimiento. Más interesante nos parece la posición de los que las consideran como enunciados verdaderos adversus mathematicos, es decir, como poderosos argumentos que ponen de manifiesto que la matemática, por mucho que se esfuerce, no aprehende aquello que constituye la realidad como tal. Esta última tesis sostendría que las paradojas de Zenón son una negativa incontestable a cualquier tentativa ontológica de pensar la realidad misma como matemática, lo que en última instancia socavaría la posición filosófica del realismo matemático defendido por pensadores tan insignes como René Descartes o, el mucho más cercano, Kurt Gödel. 

Por nuestra parte nos atrevemos a decir que, como mínimo, hay aún otra posibilidad más: ¿y si las paradojas de Zenón son enunciados verdaderos -no puede ser de otra manera, pues son proposiciones analíticas- que nos dicen lo que la realidad es, pero ello justo en la medida en que, circunscribiéndonos rigurosamente a la lógica del matema, llegamos al punto mismo en que la matemática, adentrándonos en sus fallas, pone de relieve su núcleo real traumático? Bajo esta perspectiva, el síntoma que se sigue de una fidelidad irrestricta a la escritura matemática, esto es, los fallos que se siguen de las formalizaciones matemáticas rigurosas e implacables, lejos de ser un obstáculo, constituyen los momentos precisos en que se consigue hacer aflorar el núcleo traumático mismo de lo real. La idea del límite inherente a toda formalización, el momento en que el matema choca con la paradoja, la incompletitud, etc. funcionaría entonces como la condición positiva que hace posible el acceso en acto a lo real mismo.

Traigamos a colación la historia de Aquiles y la tortuga, una de las paradojas de Zenón. Como es generalmente sabido, esta es la historia de una curiosa carrera. En un inicio, Aquiles sabiéndose mucho más rápido que la tortuga, le deja una pequeña ventaja, pongamos una distancia α; cuando Aquiles llega a este punto la tortuga ya habrá avanzado algo, luego se habrá acercado a ella, pero no la habrá alcanzado; Aquiles, seguro de sí mismo, sigue corriendo velozmente, y cuando llega a ese último punto en que estaba la tortuga, estará todavía más cerca de la tortuga, pero ésta, una vez más, ya habrá avanzado algo, luego tampoco la habrá alcanzado; y así sucesivamente… Lo que, pasados los siglos, no deja de dejarnos perplejos es que, siguiendo esta lógica, por más que corra y se esfuerce Aquiles, todo parece indicar que el griego jamás dará caza a la tortuga.

Tomemos la formalización matemática que de esta paradoja de Zenón hizo Geneviève Morel para la revista La cause freudienne en los años 90. Consideremos como el escenario de nuestra carrera el intervalo [0,1]. En un primer instante t0, Aquiles se encuentra en el punto A0 igual a 0 y la tortuga, hemos dicho, en T0 igual a α, una pequeña ventaja, un punto irracional incluido en [0,1], esto es, un punto que no puede ponerse como la fracción de dos números enteros p/q. En el instante siguiente t1, tendremos que, cuando Aquiles esté en A1=T0=α, se habrá acercado a la tortuga, pero esta estará un poco más avanzada, pongamos en T1. Si seguimos el razonamiento, en el instante tn, Aquiles estará en An=Tn-1, todavía más cerca de la tortuga, pero ésta siempre seguirá un algo, por pequeño que sea, más avanzada, en Tn. Ahora, si VA es la velocidad de Aquiles y VT la velocidad de la tortuga, tendremos que k=VA/VT será un número mayor que 1 puesto que Aquiles corre más que la tortuga y, además, podemos suponer, sin alterar la naturaleza del problema, que k es un número entero. Supongamos ahora que, transcurrido un tiempo t, hay un x en el intervalo [0,1] en el que Aquiles alcanza a la tortuga, entonces tenemos que 

x = α +VT · t =VA · t ,

de donde se sigue que 

t = α / (VA-VT) ,

luego 

x = VA · α / VA-VT = α · k / (k-1) ,

de donde se sigue que x será también un número irracional. 

Esto es interesante porque, como indicará Lacan en su día, muestra que nuestra tortuga ha hecho su recorrido de principio a fin en el universo de los números irracionales. Ahora bien, quizá sea mucho suponer, en contra de lo que expresa la formalización de Geneviève Morel, que Aquiles y la tortuga se encuentren. ¿Por qué? Vamos a verlo… 

Es importante percatarse de que tanto la carrera de Aquiles como la tortuga se da, cada una de ellas, sobre una serie de números del intervalo [0,1] que es numerable, es decir, sobre una serie de números que puede contarse. Lo que estamos diciendo es que, independientemente de que el recorrido de la tortuga se dé por sobre de números irracionales y la de Aquiles no necesariamente, puede establecerse una correspondencia de uno a uno entre los términos de cada serie, la de Aquiles y la de la tortuga, y los números naturales con que contamos:

1          2          3          …         n          …

A0       A1        A2       …         An       …

B0       B1        B2        …         Bn        …

Ahora bien, llegados aquí, lo decisivo es que nos percatemos de que el punto x en el que convergen ambas series es un número que, ¡atención!, no podemos incluir entre los términos de ninguna de las dos series numerables, ni en la de Aquiles ni en la de la tortuga. Desde luego, esto hace que se nos salten los plomos de la cabeza, pues lo que asevera, tal y como apuntara casi de soslayo Lacan en su Seminario XX Aún, es que Aquiles y la tortuga no se encuentran porque ninguno de los dos va a llegar hasta x. Una carrera trágica la de Aquiles y la tortuga, pues no va a consumarse en un abrazo con final feliz.

Pero no nos conformemos y problematicemos un poco más si cabe esta historia. Supongamos que la carrera de nuestra tortuga, dado que su recorrido al decir de Lacan se ha dado de principio a fin en el universo de los irracionales, se da en el continuo y que los puntos B0, B1, … no son más que índices, señales deícticas, de dónde se encuentra la tortuga en su desplazamiento tortuoso por el continuo para cada instante t0, t1, … de la carrera de un Aquiles que sí transcurre, única y exclusivamente, por el universo numerable A0, A1, … Hecho este supuesto, podemos afirmar: primero, que  dado que el universo por el que se mueve la tortuga es el del continuo, la tortuga alcanzará x sin problema ninguno;  segundo, y retomando al dedillo nuestra tesis anterior, que Aquiles no cogerá jamás a la tortuga, pues, como hemos dejado señalado, los términos de la serie numerable por los que se mueve Aquiles no pueden incluir x.

Nuestro lector, ducho en matemáticas, siempre puede replicarnos arguyendo que lo que ahora estamos sosteniendo puede parecer cierto, pero que hacemos trampas, pues en el límite, cuando n es infinito, sí tenemos que Aquiles está en x, es decir, que consigue atrapar a la tortuga. A lo que nosotros podemos responderle que la idea misma de límite o, para ser más exactos, la idea de punto límite, encierra la idea de un punto que no es incluido entre los términos de la serie que lo aproximan; y es más, si queremos ser más minuciosos todavía, la idea de punto límite de una serie consiste en que, para cualquier punto y tan cercano como queramos a nuestra x, podemos afirmar que existe un término de la serie, pongamos por caso Ar, que rebasa ese y acercándose a x, esto es y < Ar < x, pero esta circunstancia no nos habilita en absoluto para aseverar que Ar atrapa nuestra x, de hecho ese término de la serie seguirá sin ser x, luego aún continuará habiendo una distancia por nimia que sea entre Aquiles y el punto x, continuará habiendo un resto por recorrer, vamos a denotarlo con la letra a, que continuará causando el deseo de Aquiles por dar caza a nuestra tortuga. De hecho, siendo un poco heterodoxos, pero quizá más precisos, podemos decir que la tortuga es el objeto a que funciona como señuelo para Aquiles, como objeto causa del deseo de Aquiles, pero que, en realidad, ese objeto a viene a tapar por un efecto de velo la causa última del deseo de Aquiles, a saber, ese resto aún por recorrer o, si se quiere, ese vacío a que es un goce imposible de colmar en la carrera del jefe de los mirmidores.

Las preguntas pertinentes ahora son las siguientes: ¿es salvable esta distancia a? ¿cuál es la naturaleza misma de ese resto a? En contra de lo que suele creerse, el concepto de límite no da una respuesta a estos interrogantes, simplemente nos asegura que los términos de la serie pueden acercarse a x tanto como queramos, lo que a la postre, sintomáticamente, nos está diciendo a un tiempo que siempre nos quedará un salto mortal tan pequeño como se quiera hasta alcanzar x, siempre habrá ese resto a, de aquí que sea un índice de lo imposible. Pero, ¿cuál es ese salto mortal? Digámoslo ya: es el salto que media entre, de una parte, el espacio discreto de lo numerable o contable, el universo de lo fálico diría Lacan, correspondiente a nuestras series, en particular la de la serie de nuestro valiente Aquiles, y de otra, el espacio continuo, sin vacíos, que rebasa la lógica fálica, que debería recorrer Aquiles en nuestro intervalo [0,1] para alcanzar x. Dicho de otro modo, lo que se propone Aquiles es recorrer un continuo de manera numerable, hacer un todo contable, pero esto desde Cantor, sabemos que no es posible pues el continuo, precisamente, tiene la peculiaridad de no ser numerable, de no dejarse totalizar por la cuenta, de ser, en definitiva, un no-todo. Estamos ante dos infinitos de orden diferente, siendo el infinito de los naturales menor que el infinito de los reales correspondientes al continuo o, dicho en jerga matemática, el cardinal o número de elementos del conjunto de los números naturales es menor que el cardinal o número de elementos de los números reales. El genio de Cantor lo notaba, en términos de cardinales transfinitos, de esta manera . La naturaleza de la distancia a, de ese goce imposible de colmar, es pues la del impasse que media entre uno y otro infinito, un impasse que se nos hace patente en el síntoma mismo que asoma cuando la lógica fálica, significante, de las series numerables no puede simbolizar, introducir en su cuenta, a lo real mismo.

La historia de Aquiles y la tortuga es la tragedia de los sexos, la historia de una relación no consumada e imposible de consumar: no hay abrazo que haga Uno como en el mito andrógino de la media naranja, pues nuestro valiente griego goza en la cuenta fálica, y gozando sólo a través de esta cuenta, levanta un muro infranqueable al goce otro del cuerpo de la tortuga.

ENM (2024)