Antes de John Horton Conway, los números se descubrían. Con Conway, los números se juegan. Los surreales no están en el cielo platónico, esperando a ser descubiertos; salen de una regla, como el deseo sale del vacío. Comencemos, pues, por el vacío. Nada… no hay nada, no hay. Sin embargo, si lo que nos ocupa es partir del vacío, de la nada, no puede sino haber, en el mismo acto de partir de la nada, un gesto de nominación, hay que escribir el vacío: «nada», «vacío», podríamos haber puesto _ , o como escriben los matemáticos: ∅. Empecemos por no poner nada.
Partiendo de aquí, operemos, hagamos operativo el vacío a partir de una regla:
Sea x = < L | R >,
donde x es el número más simple mayor que L y menor que R.
Consideremos < | >. Tenemos dos vacíos, uno a cada lado de la barra, pues hemos convenido la nominación de no poner nada. Estamos ante el redoble simbólico del vacío: por un lado, un vacío escrito mediante una ausencia, que vamos a poner a operar, y por otro, el vacío dentro de la operación < | >, inscrito dentro de la regla que va a iniciar nuestro particular juego, el juego del deseo. Parece muy complejo, pero no lo es. Sencillamente estamos diciendo que para hablar del vacío no hay otra que realizar el acto mismo de su nominación. Y que al operar con el vacío nominado mediante nuestra regla, estamos inscribiendo simbólicamente el vacío. Esto último ya no es constatar el vacío, es ponerlo a trabajar, y mediante ello activar la máquina del deseo.
Ahora, ¿qué número resulta de aplicar la regla a dos conjuntos vacíos? Si L y R no contienen elementos, no hay ningún elemento que sea mayor o menor que ningún otro, luego la condición se cumple trivialmente. El número más simple que cumple eso es el 0. Tenemos el cero. Es decir: < | > = 0. Lo que no debe pasársenos por alto aquí es que, en el gesto mismo de escribir < | >, de hacer el pasaje por la letra, por el significante puro fuera del sentido, hacemos uno del 0, y con ello, punto crucial, iniciamos la cuenta. Lo decisivo —y realmente asombroso— es que < | > está funcionando como el significante de la castración S(Ⱥ) en la medida en que inscribe el vacío y como falo en la medida en que inicia la cuenta. Y con esto no estamos diciendo que el falo sea S(Ⱥ) o que S(Ⱥ) sea el falo, sino que < | > funciona como ambos.
Pero continuemos operando, continuemos el juego. Sean <0 | > y < | 0>. ¿Qué número más simple es mayor que 0 y menor que ninguno? y ¿qué número más simple es mayor que ninguno y menor que 0? Respuestas obvias: el 1 y el -1. De igual manera, <1 | > sería 2 y < | -1> sería -2, y así, continuando la cuenta, obtenemos todos los números enteros. No hacemos otra cosa que operar con nuestra regla, el vacío y los números que vamos generando. Es más, podemos seguir con <0 | 1>, que sería 1/2, pues este es el número más simple mayor que 0 y menor que 1. Tirando de nuestra regla alcanzamos <0 | 1/2> = 1/4, <1/2 | 1> = 3/4, etc. Y así sucesivamente, a través de la iteración contable del deseo, obtenemos los números racionales. Esto no es otra cosa que la cuenta que resulta de una operativa que hace productivo el vacío, una cuenta necesaria, que no cesa de escribirse.
Detengámonos aquí un momento, para dar otro salto. ¿Qué estamos haciendo? La producción de los números racionales lo ha hecho evidente. Hacemos cortes. Se hace patente, x no es más que el corte entre L y R. Consideremos ahora el número áureo Φ, un número real que no es racional, esto es, que es irracional. ¿Podemos definirlo mediante un corte? Sí, mediante la sucesión de Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, … . Φ puede definirse como el corte de dos sucesiones de números construidas a partir de esta sucesión de Fibonacci. ¿Cuáles? La primera: 1/1, 3/2, 8/5, … que no es otra cosa que tomar a pares los términos de Fibonacci y dividir el mayor por el menor partiendo del primer término, y la segunda: 2/1, 5/3, 13/8, … que resulta de hacer lo mismo, pero partiendo del segundo término. Y ya está, ya tenemos el corte que nos da el número áureo: Φ = <1/1, 3/2, 8/5, … | 2/1, 5/3, 13/8, …>.
Mediante un corte puede definirse cualquier real; pero, ¡oh paradoja!, como indican los puntos suspensivos de manera sintomática para Φ, si el número es un real irracional entonces no pueden dejar de no escribirse. De hecho es algo que ya sabíamos: todo número racional es una proporción, puede escribirse como fracción de dos números enteros, pero un número real irracional es aquel para el que no hay proporción, el que no tiene fracción o ratio, el que precisamente tiene infinitos decimales no periódicos; dicho de otra manera, insistimos en ello, justo el que no podemos dejar de no escribir. El corte que define un irracional cualquiera (Φ, e, π, etc.) no es un lugar asignable mediante un significante, una proporción, sino el lugar de un agujero que bordeamos mediante el significante. Fue el genio de Dedekind quien ideó la idea misma de corte definiendo √2 como la intersección de dos conjuntos: el de los números racionales de cuadrado mayor que 2 y el de los números racionales de cuadrado menor que 2. Dedekind en matemáticas fue el primero en darnos el corte, la letra para indicar el agujero, el objeto a, que causa la cuenta, la activación del deseo. No es poca cosa.
Si el juego terminase aquí ya estaríamos ante algo extraordinario, pero Conway llegó más lejos, al punto que Cantor y Leibniz no alcanzaron: la obtención de los infinitos y los infinitesimales a partir de una simple operativa que no parece tener fin.
¿Qué número es <0, 1, 2, 3, 4, …| >? Volvamos a nuestra regla: estamos ante un número que es mayor que todos los números naturales y menor que ninguno. ¿Qué número es este? El infinito ω. Es decir: ω = <0, 1, 2, 3, 4, …| >. Si Cantor postuló el infinito en acto dejando en suspenso el Otro de la matemática académica encabezada por Kronecker, aquí lo deducimos a través de la mera operatividad, de la simple iteración deseante de nuestra regla, como una cuenta más. Y siempre habrá aún uno más: ω + 1 = <ω | >, ω + 2 = <ω + 1 | >, etc. o podríamos seguir con 2ω = <ω, ω +1, ω +2, … | > o ω² = <ω, 2ω, 3ω, 4ω, … | >. No estamos haciendo otra cosa que producir los infinitos. Y el lector perspicaz siempre podrá preguntarse: ¿dónde está el infinito de los reales? Ya lo dimos con Φ: cortadura infinita de racionales. Cada real lleva ese infinito interno por dentro.
Realicemos un paso más en memoria del polímata Leibniz. ¿Qué número es <0 | 1, 1/2, 1/4, 1/8 …>? A la izquierda tenemos el cero. A la derecha una sucesión cuyos términos tienden a cero. Nuestro número es mayor que cero y más pequeño que cualquiera de los términos de una sucesión que tiende a cero tanto como queramos. A esto Leibniz lo llamaba infinitesimal, hemos producido 1/ω. ¿Es este el número más pequeño? No, siempre habrá uno más pequeño. Sin ir más lejos 1/ω² = <0 | 1/ω, 1/2ω, 1/4ω, …> será infinitamente menor que 1/ω, y así, otra vez, ad infinitum.
En suma, lo que Cantor y Leibniz intentaron —abordar lo infinito por arriba mediante la postulación de un Ω absoluto identificado con Dios, abordar lo infinitesimal por abajo mediante la idea de una cantidad evanescente dx— Conway lo obtiene jugando a operar un corte que inscribe el vacío. Operativa que funciona a partir de una regla que no distingue direcciones. Dicho de otro modo, el deseo de la cuenta no tiene techo ni suelo. Encore en los dos sentidos. Pura economía del goce.
Y sin embargo, el hallazgo de Conway no fue sólo matemático, aunque él lo viviese así. Cantor llegó al infinito en acto y pagó con la locura. Gödel llegó a la incompletitud y pagó con la muerte por inanición. Hay un punto común en estos dos pagos: la identificación del sujeto con el matema producido. Hacer del matema sostén subjetivo, condición de existencia. No fue el caso de Conway, él no se identificó con los surreales, jugó con ellos. Por eso pudo morir tranquilamente a los 82 años de COVID, quejándose de que nadie había leído bien On Numbers and Games. La diferencia entre enloquecer y jugar está justo aquí: no en el matema producido, sino en la posición subjetiva desde la que se opera. S(Ⱥ) puede ser peaje a pagar con carne propia o puede ser fuente de creatividad y juego. Lo que cambia es quién cuenta, pero el día ω es el mismo.
ENM 01102034
